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國一數學難題求解
1. 已知a、b、(a-b)都不是3的倍數，試證a(3次方) +b(3次方)是9的倍數。 2. 求最小的自然數n，使n(3次方)的後三位數字是888。 3. 求證：不存在這樣的自然數，把它的首位移到末位(個位)之後得到的新數是原數的2倍。
最佳解答:
1)a - b 不是3的倍數, 故3除a、b不同餘, 又a、b都不是3的倍數, 得 a ≡ ±1 (mod 3) 及 b ≡ 干1 (mod 3) , 則 a3 + b3 = (a + b)( (a + b)2 - 3ab ) , 其中 a + b , 3ab 都是3的倍數, 得 (a + b)2 - 3ab 也是3的倍數 , 故 a3 + b3 是兩個3的倍數之積為 9 的倍數。 2)明顯n的個位數為2, 設n的末兩位數為10a + 2 , 則 (10a + 2)3 = 1000a3 + 600a2 + 120a + 8 的末兩位數為88, ?120a + 8 的末兩位數為88 , a = 4 或 a = 9。設 n = 100b + 42 , 則 n3 = (100b + 42)3 = 1000000b3 + 1260000b2 + 529200b + 74088 的末三位數 = 529200b + 74088 的末三位數 = 888 , 則 2b + 0 = 8 , b = 4。設 n = 100b + 92 , 則 n3 = (100b + 92)3 = 1000000b3 + 2760000b2 + 2539200b + 778688 的末三位數 = 2539200b + 778688 的末三位數 = 888 , 則 2b + 6 = 8 , b = 1。故最小的自然數 n = 192。 3)設原數 = a10? + b , (其中 b < 10?) , 則新數 = 10b + a , 明顯 a < 5 否則新數比原數位數多。 依題意得 10b + a = 2a10? + 2b 8b = 2a10? - a 若 a 為 1、3 則左偶右奇矛盾! 若 a 為 2、4 則 2a10? 為 8 的倍數從而右方 ≡ - a ≡ 6 或4 (mod 8) 與 右方 ≡ 0 (mod 8) 矛盾! 所以不存在這樣的自然數。
其他解答:
你可以複製以下的字元：「∓」CEE950A255C9C3B3
國一數學難題求解
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發問:1. 已知a、b、(a-b)都不是3的倍數，試證a(3次方) +b(3次方)是9的倍數。 2. 求最小的自然數n，使n(3次方)的後三位數字是888。 3. 求證：不存在這樣的自然數，把它的首位移到末位(個位)之後得到的新數是原數的2倍。
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1)a - b 不是3的倍數, 故3除a、b不同餘, 又a、b都不是3的倍數, 得 a ≡ ±1 (mod 3) 及 b ≡ 干1 (mod 3) , 則 a3 + b3 = (a + b)( (a + b)2 - 3ab ) , 其中 a + b , 3ab 都是3的倍數, 得 (a + b)2 - 3ab 也是3的倍數 , 故 a3 + b3 是兩個3的倍數之積為 9 的倍數。 2)明顯n的個位數為2, 設n的末兩位數為10a + 2 , 則 (10a + 2)3 = 1000a3 + 600a2 + 120a + 8 的末兩位數為88, ?120a + 8 的末兩位數為88 , a = 4 或 a = 9。設 n = 100b + 42 , 則 n3 = (100b + 42)3 = 1000000b3 + 1260000b2 + 529200b + 74088 的末三位數 = 529200b + 74088 的末三位數 = 888 , 則 2b + 0 = 8 , b = 4。設 n = 100b + 92 , 則 n3 = (100b + 92)3 = 1000000b3 + 2760000b2 + 2539200b + 778688 的末三位數 = 2539200b + 778688 的末三位數 = 888 , 則 2b + 6 = 8 , b = 1。故最小的自然數 n = 192。 3)設原數 = a10? + b , (其中 b < 10?) , 則新數 = 10b + a , 明顯 a < 5 否則新數比原數位數多。 依題意得 10b + a = 2a10? + 2b 8b = 2a10? - a 若 a 為 1、3 則左偶右奇矛盾! 若 a 為 2、4 則 2a10? 為 8 的倍數從而右方 ≡ - a ≡ 6 或4 (mod 8) 與 右方 ≡ 0 (mod 8) 矛盾! 所以不存在這樣的自然數。
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