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大一數~求分部積分和有理函數

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http://img291.imageshack.us/img291/820/img0546qu1.jpg 因剛學, 請詳細說明

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∫udv=uv-∫vdu 1. ∫ln x/x^2 dx =∫ln x d(-1/x) =-ln x/x-∫(-1/x)d(ln x) =-ln x/x+∫1/x^2 dx =-ln x/x-1/x+C =-1/x (ln x+1)+C 2. ∫x^3(ln x)^2 dx =∫(ln x)^2 d(1/4 x^4) =1/4 x^4(ln x)^2-∫(1/4 x^4)d((ln x)^2) =1/4 x^4(ln x)^2-1/2∫x^3 ln x dx =1/4 x^4(ln x)^2-1/2∫ln x d(1/4 x^4) =1/4 x^4(ln x)^2-1/8 x^4 ln x+1/2∫(1/4 x^4)d(ln x) =1/4 x^4(ln x)^2-1/8 x^4 ln x+1/8∫x^3 dx =1/4 x^4(ln x)^2-1/8 x^4 ln x+1/32 x^4+C =1/8 x^4[2(ln x)^2-ln x+1/4]+C 3. ∫x^5 e^x dx =∫x^5 d(e^x) =x^5 e^x-∫e^x d(x^5) =x^5 e^x-5∫x^4 e^x dx =x^5 e^x-5∫x^4 d(e^x) =x^5 e^x-5 x^4 e^x+5∫e^x d(x^4) =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20∫x^3 e^x dx =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20∫x^3 d(e^x) =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-20∫e^x d(x^3) =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-60∫x^2 e^x dx =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-60∫x^2 d(e^x) =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-60 x^2 e^x+60∫e^x d(x^2) =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-60 x^2 e^x+120∫x e^x dx =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-60 x^2 e^x+120∫x d(e^x) =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-60 x^2 e^x+120 x e^x-120∫e^x dx =x^5 e^x-5 x^4 e^x+20 x^3 e^x-60 x^2 e^x+120 x e^x-120 e^x+C =e^x(x^5-5x^4+20x^3-60x^2+120x-120)+C 2008-12-03 12:02:10 補充: Integration by Parts既精髓就係要適當地選取u同dv, 選取dv之後,剩返既就做u,所以問題係點樣揀dv。 選擇dv既次序如下: 1. e^x dx 2. sin x dx, cos x dx 3. x^n dx 4. ln x dx, sin^-1 x dx, etc. 例如第一條,你可以揀dv=ln x dx or dv=x^-2 dx 但見到後者既priority高D,所以揀dv=x^-2 dx 又如第二條,你可以揀dv=x^3 dx or dv=(ln x)^2 dx 呢次前者既priority高D,所以揀dv=x^3 dx

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