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數學知識交流---考据的問題之其一
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原自[魔法少女小圆第十话] http://imgsrc.baidu.com/forum/pic/item/015b6e0eec73629e7acbe12b.jpg p为质数，n为任意自然数 证明(1+n)^p-n^p-1可被p整除。
用二項式定理解出: (1 + n)p - np - 1 = Σ (k = 1 → n - 1) pCk nk 對任何質數 p: pCk = p(p - 1) ... (p - k + 1)/k! 當 k 為 1 至 p - 1 時, 分子至少有一個 p 的存在, 再者分母由 2 到 k 階乘中每個數均與 p 互質 (因為 p 是質數) 所以分母中沒有一個數能與 p 相約, 即 p 值保留不動. 寫成: pCk = p [(p - 1) ... (p - k + 1)]/[2 x 3 x 4 x ... x k] 由 p - k + 1 至 p - 1 為 k - 1 個連續正整數, 最小為由 2 至 k (因為 p >= 2, p - k + 1 >= 2) 所以由 p - k + 1 至 p - 1 為 k - 1 個連續正整數當中必至少有一個有 2 - k 為因數的數. 所以, [(p - 1) ... (p - k + 1)]/[2 x 3 x 4 x ... x k] 為整數 即 pCk 可被 p 整除 (當 1 <= k <= p - 1), 最後: (1 + n)p - np - 1 = Σ (k = 1 → n - 1) pCk nk 可被 p 整除.
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原自[魔法少女小圆第十话] http://imgsrc.baidu.com/forum/pic/item/015b6e0eec73629e7acbe12b.jpg p为质数，n为任意自然数 证明(1+n)^p-n^p-1可被p整除。
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最佳解答:用二項式定理解出: (1 + n)p - np - 1 = Σ (k = 1 → n - 1) pCk nk 對任何質數 p: pCk = p(p - 1) ... (p - k + 1)/k! 當 k 為 1 至 p - 1 時, 分子至少有一個 p 的存在, 再者分母由 2 到 k 階乘中每個數均與 p 互質 (因為 p 是質數) 所以分母中沒有一個數能與 p 相約, 即 p 值保留不動. 寫成: pCk = p [(p - 1) ... (p - k + 1)]/[2 x 3 x 4 x ... x k] 由 p - k + 1 至 p - 1 為 k - 1 個連續正整數, 最小為由 2 至 k (因為 p >= 2, p - k + 1 >= 2) 所以由 p - k + 1 至 p - 1 為 k - 1 個連續正整數當中必至少有一個有 2 - k 為因數的數. 所以, [(p - 1) ... (p - k + 1)]/[2 x 3 x 4 x ... x k] 為整數 即 pCk 可被 p 整除 (當 1 <= k <= p - 1), 最後: (1 + n)p - np - 1 = Σ (k = 1 → n - 1) pCk nk 可被 p 整除.
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